情報数学 I

第四回: 論理回路と命題論理

Martin J. Dürst

duerst@it.aoyama.ac.jp

O 棟 529号室

テュールスト マーティン ヤコブ

http://www.sw.it.aoyama.ac.jp/2005/Math%20I/lecture4.html

© 2005 Martin J. Dürst 青山学院大学

今週の目的

• 論理演算子と論理回路の関係が分かる
• 論理回路を書ける
• 記号論理の目的が分かる

先々週の宿題

採点完了。来週の火曜日 (10月25日) から O-529 の前に取りに来れる。

多かった問題点:

• 組み合わせの順番がバラバラ
• 記号の書き方が間違っている
• T の代わりに A ∨ ¬A (0 の代わりに 5 - 5 を書くと同じ)
• 多くの式をまず正しく書くが、そのあと更に単純化して T になってしまう
• 確認がされてなかった
• 間違いの写しが多かった

先週の宿題

サイコロやコインを使って、四変数の真理関数を作る。

その論理関数について次のことをやって下さい。

• 乗法標準形
• 式の操作による単純化
• カルノー図表にやる単純化

提出: 提出は必要ないし、成績には影響がないが、正解かどうか分からない場合に提出して、チェックして返す。

論理回路

論理関数を実際に計算する回路を作ることができる。

論理演算と電気 (電子) 回路の関係は 1938 年が C. Shannon 修士論文で発表。

論理回路の部品を「ゲート」と呼ぶ。あるゲートの出力を次のゲートの入力につなぐことができる。

実際の回路では出力を元のゲートに戻すことなどもあるが、その場合には論理回路ではなくなる。

論理回路の場合に真と偽の代わり 1 と 0 を使うのが普通。

論理回路に使う (主な) ゲート

論理回路の書き方

• 入力は左、出力は右にする
• 入力と出力の線に変数の名前や式を書く
• 線は交差のところつないでいるかどうかはっきりする
• AND と OR のゲートの場合交換律と結合律が成り立つため、入力の数を制限する必要がない。NAND と NOR にもこの拡張を適用できる。

論理回路の例

この例は半加算器 (half adder) を実現する (足し算一ビットごとに二個必要)

NAND、NOR の特徴

NAND だけ (又は NOR だけ) で全ての論理関数が実現できる。

∧、∨、と ¬ で標準形を使って全ての論理関数が実現できるので、この三つを NAND で実現できれば証明ができる。

¬ A =

A ∧ B =

A ∨ B =

NOR の場合には双対原理を使って証明できる。

記号論理

(symbolic logic)

• 論理のモデルを作って、記号演算だけで論理ができるようにする。
• 論理にはいくつかの種類がある。例えば:
  • 二値論理 (真と偽だけ)
  • 多値論理 (真と偽以外の値がある)
  • ファジィ論理 (曖昧さの計算を含む)
  • 命題論理 (propositional logic, 命題だけを使う)
  • 述語論理 (predicate logic, 一階 (first order) 等)
  • 時間など他の要素を取り入れた論理

論理に大切な演算子

• 「同値である」: equiv, A ↔ B (同値、equivalence)
  A と B が同じ値の場合だけ T
• 「ならば」: imp, A → B (含意、implication)
  A が F で B が T の場合だけ F

  例: 情報数学 I に合格するならば三月に沖縄に旅行に行く。

「同値である」と「ならば」の性質

1. 含意の除去: A→B = ¬A∨B = ¬(A∧¬B)
2. 同値の除去: A↔B = (A→B)∧(B→A) = (A∧B)∨(¬A∧¬B)
3. 推移律: ((A→B) ∧ (B→C)) → (A→C),
   ((A↔B) ∧ (B↔C)) → (A↔C)
4. 背理法: A→¬A = ¬A
5. 対偶: A→B = ¬B→¬A
6. 同値の性質: A↔B = ¬A↔¬B, ¬(A↔B) = (A↔¬B)
7. 含意の性質: T→A = A, F→A = T, A→T = T, A→F = ¬A

恒真と恒偽

• 常に真の式を「恒真式」と呼ぶ。トートロジー (tautology) ともいう。
• 常に偽の式を「恒偽式」と呼ぶ。

今週の宿題

提出: 再来週の金曜日 (11月 4日)、授業のはじめに。形式は A4 一枚。

第一問:

半加算器を NAND だけ (もしくは NOR だけ) で作って書いて下さい。

第二問:

三つの真理値 (真: T、偽: F、未定 (分からない): ?) を使う多値論理の基本的な真理表 (かつ、又は、ではない) を作って下さい。